2013年6月10日月曜日

ルベーグ積分論,線型位相空間論の勉強ノート3

Lebesgue積分論と線型位相空間論の勉強ノートを更新しました.
ここにおいておきます.
新たな内容としては,
柴田良弘氏の「ルベーグ積分論」の
$L^p$空間の基本的な性質の項目を追加
Trevesの「位相ベクトル空間・超関数・核」の第9章までの内容を追加
間違いや不足していた内容の追加,演習問題を幾つか解いたといったところでしょうか.
章立ての変更などをしていたら,いつのまにか600ページを超えていました.
演習問題の結果も本文に組み込んで,もう少し使い易い形にしないといけないなと考えております.Trevesの本は,色々な概念を必要となるまで持ち出さないようなスタイルで書かれているので,後から見直すときにまとまりが悪いような印象も受けます.その点Horvathの本は項目毎のまとまりがよく,一度学習したあとは使い勝手が良さそうですが,最初から読むとしんどそうにも思えます.

$X$を位相ベクトル空間とし,$M$をその部分位相ベクトル空間,$N$を$M$の代数的補空間とするとき,直積空間$M\times N$から$X$への写像$\varphi : M\times N \to X$を$\varphi(x, y)=x+y$で定義する.$\varphi$が位相ベクトル空間の同型写像であることと,標準的射影$\pi : X \to X/M$の$N$への制限$\pi |_N : N \to X/M$が位相ベクトル空間の同型写像であることが同値であることを証明するのにえらく手間取ってしまいました.$\pi |_N$が同型であるとするとき,$\varphi$の逆写像の連続性の証明にひどく時間を費やしてしまい,疲れ気味です.次からようやくFrechet空間で,具体的な関数空間が登場しますが,多変数正則関数の空間の話をする前にRiemann積分の復習をしたいところです.

あと,Trevesの本の原著タイトルは"Topological Vector Spaces, Distributions and Kernels"です.このTopological Vector Spaceに相当する日本語は線型位相空間が主流みたいですが,これはLinear Topological Spaceの訳のようです.それ以外にも位相線型空間などがあってややこしいです.

追記:2013/06/28:ノート更新のため,旧版ノートの公開を取りやめました.
新しいノートはこちらから