2014年5月24日土曜日

可測関数と無限大

現在Lebesgue積分論と関数解析を勉強中です.
多くのLebesgue積分の教科書で関数値に無限大を取ることを許して理論を展開していますが,勉強を進めるにつれてその優位性がどこにあるのかわからなくなってきました.

最初は特異点のある関数,例えば$x=0$で発散する$f(x)=1/x^2$といった関数を$\mathbb{R}$全体で定義された関数として扱うことが出来るようにするのが目的かと思っていたのですが,そうすると$f(x)=1/x$などはそもそも$x=0$で値を確定出来ないので無限大を許容するよりも$x=0$では例えば$f(x)=0$とするなど特異点での値を無理矢理定義し直した関数を考えればよいような気もします.

実際可積分な関数を扱うようになると,測度を変えない場合は測度零の集合上での関数値を変更しても積分値に影響がないため,上記のような特異な点の数が少ない場合は特異な点での値を修正して有限値関数に置き換えてやればよいことになり,関数に無限大値を許す必要性が無くなってくるように思います.

また無限大を許すことで定理や命題の証明が変に複雑になっています.

現時点での理解では,関数値に無限大を許すことの利点は可測関数の極限関数や上極限,下極限が自動的に可測関数になることが保証されることくらいしか思いつきません.
あまりきちんと考えていないのですが,これってそんなに大きな利点なのかな?と思っています.

これまでに見た教科書では関数値に無限大を許容したほうが都合がいいとは書いてあるものの,どのように都合が良いのかを明記してある本がありませんでした.誰か説明してくんないかな.