2014年6月11日水曜日

Lebesgue積分と位相ベクトル空間の勉強ノート 6

Lebesgue積分と位相ベクトル空間の勉強ノートを更新しました。
こちらに置いておきます。

追記:2016/10/10 広義積分の項目は杉浦氏の解析入門を参考にしていたのですが、変数変換公式の証明中に体積確定(またはJordan可測)であることを確かめなければならない集合について体積確定かどうか調べていないところがあり、これを証明するには修正点が非常に多くなるので、宮島氏の微分積分学IIの証明を参考に大幅に書き換えをしました。

追記:2016/07/27 広義積分の項目を追加しました。ルベーグ空間の積分に対するMinkowskiの不等式の証明が中途半端だったので証明のし直しをし、その他にタイプミスを修正しました。複素解析のノートと結合する試みを始めました。上極限と下極限について成り立つ関係式は、複素解析のノートに載せていた証明に不備があったので修正しました。とりあえず今後は初等関数やガンマ関数、ベータ関数を定義して、変数変換の項目を整備するのと、複素線積分をきちんと定義して多変数解析関数の初歩を取り込みたいです。

追記:2016/05/02 定理の引用番号がおかしくなっていたのを修正しました.

追記:2016/04/16 定理環境の枠囲みをmdframed.styからtcolobox.styに変更しました.文章中の妙な改ページが無くなっていると思います.

追記:2016/2/19 読み返してみると何を言っているのか意味不明だったので、柴田氏のルベーグ積分論定理7.3.3(ヘルダーの不等式の逆)に対応するFolland氏のReal Analysis theorem 6.14の証明部分を修正しました。

追記:2016/01/19 符号付き測度と複素測度、Lebesgueの微分定理の部分を書き直しました。これでほぼ複素数値関数への書き換えが終わったのではないかと思います。変数変換の具体例や原始関数の存在などの話も加えていく予定です。フォントサイズと余白を変更したのでページ数が1000ページ未満に収まっています。

追記:2014/12/28 索引のリンクがずれまくりなのを修正しました

追記:2014/10/09 Lebesgue積分のノートを書き直しました.これまでのノートでは,異なる値を取る点が1つでもあれば異なる関数と見なしていたので証明がごちゃごちゃしていましたが,ほとんど至る所等しい関数の同値関係を使うことで,証明が大分すっきりしたと思います.まだ簡素化出来る部分はあると思います.
無限大に値を取る関数についての記述は極限操作と相性がよいという理由で残してありますが,その極限操作で得られる関数が可測関数になっているという事実をほとんど使っていないので,残す必要もないのかも知れません.
今回作ったpdfは久しぶりに一部分を印刷をしたので,印刷仕様でハイパーリンクに色がついていません.

追記:2014/09/24 Trevesの本のHilbert空間の残り部分とLF空間の性質を少し加筆しました.現在は東大の河澄さんのホモロジー論の講義ノートの勉強ノートとLebesgue積分のノートの改訂をしています.Lebesgue積分のノート部分は見直すとかなり無駄な記述が多いので,同値関係「ほとんど至る所で等しい」を早めに導入して記述をもっとすっきりさせる予定です.結果としてFollandのReal Analysisの書き方に寄っていくと思います.柴田さんのLebesgue積分論の内容を複素数値関数に拡張するのは結構面倒なので,Folland本のほうがオススメかな.


主な変更点は,

  • $L^p$空間の双対空間についての話題を追加
  • Hilbert空間の正規直交系の性質あたりまでの話題を追加
  • 位相空間論の辺りを追記し,ノート全体の整合性を高めた
  • 複素数値関数でも使えるように命題の幾つかを一般化した
といったところです.Fubiniの定理や微分定理なども複素数値関数に使える形に書き直していかないとな.

双対空間のところでFollandのReal Analysisでは複素数値関数には適用出来ないと思えるような証明を採用していて,その修正をするのに時間を取られてしまいました(結局Web上で見つかった講義ノートを参考にした).

また位相ベクトル空間の完備化に関連した直感的には自明に思える細々した命題の証明(2つの位相ベクトル空間$X_1$と$X_2$の完備化$\hat{X}_1$, $\hat{X}_2$の直積空間$\hat{X}_1\times\hat{X}_2$と直積空間$X_1\times X_2$の完備化$\widehat{X_1\times X_2}$の間の自然な同型の存在など)に時間を取られたりしてキツいものがありました.

柴田氏のルベーグ積分論の定理7.3.3(ヘルダーの不等式の逆)の証明で変な所が見つかりました.この定理は或る性質を持つ可測関数$g$が$g\in L^q$であることを証明する命題であるものの,証明の最初に$g$がその1つ前の命題7.3.2を満たすので云々という点で$g\in L^q$であることを仮定してしまっています.実際は命題7.3.2そのものが必要でなく,その性質を定理7.3.3の証明の中で使っていません.柴田さんの本の種本は上述のFollandの本なので,Follandの本にある命題をそのまま引きずってしまったのだと思われます.Follandの本では上述したように,柴田さんの定理7.3.3に相当する定理を複素数値関数に対して証明してありますが,その証明法は実数値関数にしか使えないと思われるので注意が必要です.柴田さんの本は実数値関数に制限して証明してあるので,命題7.3.2を除けば正しい証明になると思います.
追記:2016/02/09 やはりFollandの本のTheorem 6.14の証明は正しかったです。

TrevesのHilbert空間の章も山場は越したのではないかと思います.
しかしTrevesの本のHilbert空間の章は他の章に比べて雑な印象を受けました.pre-Hilbert空間の閉部分ベクトル空間が完備だと思っているような記述があったり,非可算集合かもしれない集合$S$に関する級数$\sum_{e\in S}$が出てくるものの和の定義をしていなかったりで,ちょっとイラッとします.

とうとう総ページ数が1000を超えました.
それを記念して(?),現代数学社から出ている「やさしい線形代数の応用」(仁平政一著)の表紙デザインをパクって表紙をつけてみました.タイトルは適当です.

解析ばかりで疲れてきたので,昔少し作った代数的トポロジーのノートを整理しようかと考え中です.はやく具体的な対象が扱えるようになりたいな.