うぶつん

レムニスケートは$(x^2 +y^2)^2 =a^2 (x^2 -y^2)$で定義される曲線($(\pm a, 0)$は$x$軸との交点を表す)です。例えば$a=1$として$(x^2+y^2)^2=x^2- y^2$を媒介変数表示すると \[ x(t)=\frac{t(t^2+1)}{t^4+1},\qquad y(t)=-\frac{t(t^2-1)}{t^4+1} \] と表せることが知られていますが、媒介変数表示でレムニスケートのグラフを描こうとすると$t$は実数全体を動かす必要があるのでどのように描いたらよいのかわかりませんでした。 Asymptoteで用意されているcontourモジュールを使えば、$x, y$について陽に解かれていない陰関数$f(x, y)=0$の形のグラフを描くことが出来ます。 size(500,0); import contour; real a=1; //レムニスケートのx軸との交点座標 real[] c={0}; real f(real x,real y){return (x^2+y^2)^2-(a^2)*(x^2-y^2);}; draw(contour(f,(-1,-1),(1,1),c)); ここでは$f(x, y)=(x^2+y^2)^2 -a^2(x^2-y^2)$とし、$f(x, y)=0$のグラフを描かせています。  contourでは2変数関数$f(x, y)$と$x$-$y$平面の矩形を指定するための2点(ここでは$(-1,-1)$, $(1,1)$を指定しているので$(x,y)$は$\{(x, y)\in \mathbb{R}^2 \,|\, -1\leq x\leq 1,\quad -1\leq y\leq 1\}$で表される矩形上を動く)、それに実数値の配列を指定する必要があります。配列を指定することで、等高線を描くことが出来るようになっています。 $x$-$y$平面上の曲線が媒介変数表示で$\ell(t)=(x(t),y(t))$の形で表されるならば、曲面$z=g(x, y)$上の曲線で$x$-$y$平面上に射影した像が$\ell(t)$になるものが$\varphi(t)=(x(t),y(t),g(x(t),y(t))$のように簡単に定義出来ます。 しかし$f(x, ...

前回$t\leq 0$で$g(t)=0$, $0\leq t\leq 1$で$0\leq g(t)\leq 1$, $t\geq 1$で$g(t)=1$を満たす $C^\infty$級関数を使いました。今回はこの関数を使って半径$1$の閉円板上で$\varphi(x, y)=1$, 半径2の開円板の外部で$\varphi(x, y)=0$となる関数$\varphi : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$の図を書いてみました。 初めて挑戦したことと言えば、関数を条件分岐で定義したくらいです。 シルクハット型というほど立ち上がっていません。次は真横から見た状態です。 かなり綺麗な曲線になっています。$e^{-1/t}$という関数の$t=0$付近での挙動はあまり問題にならないのでしょうか。 size(500,0); import graph3; currentprojection=orthographic(2,-1,0.5); real f(real t){ if(t>0) {return exp(-1/t);} else {return 0;} }; real g(real t){return f(t)/(f(t)+f(1-t));} real h(real t){return g(t+2)*g(2-t);} triple F(pair z){return (z.x,z.y,h(abs(z)));}; surface s=surface(F,(-2.5,-2.5),(2.5,2.5),50,50,Spline); draw(s,lightgray,meshpen=0.01+gray,nolight); $\sqrt{z}$や$\log z$のRiemann面についての例が こちら で見つけられます。 バネの作図例もあるようでした。さすがにどれも手馴れている感じだなあ。

引き続き$f(z)=\sqrt{z(z-1)}$のRiemann面について。 今度は双曲線関数の代わりに、多様体論で1の分割を作る際などに用いられる関数を使ってみました。 つまり \[ f(t) = \begin{cases} e^{-1/t} &(t>0)\\ 0 & (t\leq 0) \end{cases} \] と置き、$g(t)$を \[ g(t)=\frac{f(t)}{f(t)+f(1-t)} \] と定義します。$g(t)$は$g(0)=0$, $g(1)=1$を満たしているので、2つの関数を滑らかにつなぐときに便利です。さらに \[ \varphi(x)= \begin{cases} -\tanh x &(x 1) \end{cases} \] と定義、$F(x,0)=\varphi(x)$, $F(x,1)=1$を満たす$F(x, y)$を \[ F(x, y) = (1-g(y))\varphi(x) +g(y) \] と定義します。この関数を使い、今回作図したものは次のようになりました。 今回もパーツを寄せ集めて描画しているので、滑らかであって欲しい部分が滑らかでないという問題が残っていますが、前回よりはマシになったのではないでしょうか。曲面をもう少しうまく定義すれば、より滑らかに出来そうです。

$f(z)=\sqrt{z}$のRiemann面を作図してみました。 作図しているのは、$(r, \theta)$を独立変数として \[ \begin{pmatrix} x(r, \theta)\\ y(r, \theta)\\ z(r, \theta) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} r\cos \theta \\ r\sin \theta \\ \tfrac{r}{2}\cos \tfrac{\theta}{2} \end{pmatrix} \] という曲面です。$\theta =\pi, 3\pi$が負の虚軸上に対応していて、$\theta =4\pi$で元に戻ります。同様にして、$z(r, \theta)=\tfrac{r}{2}\cos \tfrac{\theta}{n}$などとすれば、$f(z)=\sqrt[n]{z}$に対応するRiemann面が作図出来ます。 size(7cm); import graph3; currentprojection=orthographic(2,-3,3); triple R(pair z) {return ((z.x)*cos(z.y),(z.x)*sin(z.y),(z.x/2)*cos((z.y)/2));}; real a=10; real b=4; pen p=black; pen q=lightgray; surface s=surface(R,(0,0),(a,b*pi),8,24,Spline); draw(s,q,meshpen=p);

Asymptoteで2次元のバネを描いてみます。 まず螺旋$\ell$を$\ell(t)=(a\cos t, a\sin t, t)$と定義し、$\ell$を$y$軸周りに回転したものを$z$軸の正の側から眺める($x$-$y$平面に射影する)と、バネに見えるはずです。 $y$軸周りを$z$軸を$x$軸に向ける向きに角度$\theta$だけ回転する回転行列は \[ R_y(\theta) =\begin{pmatrix}\cos \theta & 0 &\sin \theta \\0 & 1 & 0\\-\sin \theta & 0 & \cos \theta\end{pmatrix} \] で与えられるので、$\ell(t)$を$R_y(\theta)$で回転させると \[ \begin{pmatrix} x \\ y\\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\cos \theta & 0 &\sin \theta \\0 & 1 & 0\\-\sin \theta & 0 & \cos \theta\end{pmatrix} \begin{pmatrix}  a\cos t \\ b\sin t \\ t \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a\cos \theta \cos  t + t\sin \theta \\ a\sin t \\ -a\sin\theta \cos t + t \cos \theta \end{pmatrix} \] となります。したがってこの螺旋を$x$-$y$平面に射影したものは \[ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a\cos \theta \cos  t + t\sin \theta \\ a\sin t \end{pmatrix}\] です。これをAsymptoteで描画してみたのが次の図です。 size(10cm); import graph; real a=10; // 螺旋の半径 real b...

graph3モジュールを使って$\log z$のRiemann面っぽいものを作図してみました。 アイディアは Mathematicaのチュートリアル を参考にしました。 配色は Color Scheme Designer を参考に色々試してみましたが、結局グッとくるものができませんでした。 Tikz and PGF example には配色のセンスのよい図表が沢山あり、あんなふうにしてみたいのですがセンスはどうにもならなさそうです。TikzはTeXをゴリゴリ使える人が使っているという印象があります。以前にTikzを使って花火を打ち上げていた人もいたような。 Asymptoteの用例集も配色にこだわれば使用人口が増えると思うのですが…。 見た目って大切ですよね。 メッシュの数を減らしすぎると意図している曲面にならないようでした。 影を付けるとドス黒い色になったので却下しました。 欲を言えば、Mathematicaのチュートリアルのように矩形に切り取ったものを表示させたいのですが、今のところ方法がわからないのでとりあえず。 size(10cm); import graph3; currentprojection=orthographic(3,1,1); triple R(pair z) {return ((z.x)*cos(z.y),(z.x)*sin(z.y),z.y);}; real a=12; real b=6; pen p=rgb("29467F"); pen q=rgb("4575D4"); surface s=surface(R,(0,0),(a,b*pi),6,30,Spline); draw(s,q,meshpen=p,nolight); graph3モジュールでは、$x$-$y$平面上の曲面$z=f(x, y)$の他に、$u, v$を独立変数とした$(x, y, z)=(x(u, v), y(u, v), z(u, v))$タイプの曲面を扱うことが出来ます。 今回は後者の方法で$z=(x,y)$を独立２変数として$(x\cos y, x\sin y, y)$を$(x,y)\in [0,12]\times [0,6\pi]$の領域で描画しています。独立変数$(x,y)$はsurf...

無理関数 $f(z)=\sqrt{z(z-1)}$ の分岐(branch cut)についての説明図。 以前にAblowitz & Fokasの COMPLEX VARIABLESという本 で読んだ時にわかりやすいと思ったので載せておきます。 $z=r_1 e^{i\theta_1}$, $z-1= r_2e^{i\theta_2}$と置けば、$f(z)=\sqrt{r_1 r_2}\exp(\frac{i}{2}(\theta_1+\theta_2))$と表せる。$\Theta =\frac{1}{2}(\theta_1 + \theta_2)$と置けば、$f(z)=\sqrt{r_1 r_2}e^{i\Theta}$であるが、これを$0\leq \theta_i < 2\pi$ ($i=1,2$)の範囲で考えると、下図のように、矢印方向から$z$の実軸に近づくときに$\Theta$の値が図に書き込んだ値に近づく。  $\mathrm{Re}\, z>1$や$\mathrm{Re}\, z<0$では実軸の上から近づいても下から近づいても$\Theta$の値が$\bmod 2\pi$で変わらないので、$f(z)$の値は連続であるが、$0<\mathrm{Re}\, z<1$においては実軸の上から近づけた$\Theta$の値と下から近づけた値とが$\bmod 2\pi$で一致しないため、$f(z)$はここで不連続となる。 さらに$2\pi \leq \theta_i < 4\pi$ $(i=1,2)$で同様のことを考えてみると、これら2枚のz平面をつなぎ合わせることで$f(z)$が1価正則となるような面(Riemann面)が構成出来る。 さらに、$-\pi \leq \theta_1 size(6cm); defaultpen(fontsize(10pt)); dot((0,0)); dot((1,0)); label("$0$",(0,0),SW); label("$1$",(1,0),SE); real b=0.6; draw((-b,0)--(1.05+b,0),Arrow(SimpleHead,7)); label("$\mathrm...