直積写像

数学のノートを作っていて，通常の記法とは異なった意味で使ってしまっていた記号があることに気づきました．

通常の記法では，集合$A, B, X, Y$に対して，写像$f : A\to X$と写像$g:B\to Y$が与えられたとき，$f$と$g$の直積写像$f\times g : A\times B \to X\times Y$を$(a, b)\in A\times B$に対して
\[(f\times g)(a, b)=(f(a), g(b))\]
で定義します．

ところが私は今までノートの中では，$C$を集合とするとき写像$\varphi : C\to X$と$\psi : C\to Y$に対して，$\varphi \times \psi : C\to X\times Y$を，$c\in C$に対して
\[(\varphi \times \psi)(c)=(\varphi (c), \psi(c))\]
という意味で使ってきたことが多いように思います．この意味で使っていたため，直積写像に対応する写像を扱う場合にはわざわざ射影$\pi_1 : A\times B \to A$と$\pi_2:A\times B\to B$を用意して，$f\circ \pi_1 : A\times B \to X$や$g\circ \pi_2 : A\times B \to Y$のように定義域を揃えてから$(f\circ \pi_1)\times (g\circ \pi_2) : A\times B \to X\times Y$のように記述していました．

最近まで両者を混同して記述していることに気づいていませんでした．後者の意味の写像(定義域が揃っていて，$\varphi$と$\psi$を座標写像とするような写像)は$(\varphi, \psi) : C\to X\times Y$, $c\mapsto (\varphi(c), \psi(c))$と記述するのがよいようです．しかしこの記法でいくと，写像の族$f_\lambda : C\to X_\lambda$ ($\lambda\in \Lambda$)が与えられているときに写像$f : C \to \prod_{\lambda\in \Lambda}X_\lambda$で$f(c)=(f_\lambda (c))_{\lambda \in \Lambda}$を満たしているものは$f=(f_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$という表記になると思いますが，直積空間$\prod_{\lambda \in \Lambda}X_\lambda$の元$x=(x_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$を写像$x : \Lambda \to \prod_{\lambda\in \Lambda}X_\lambda$とみなしていたのと混同してしまわないかを危惧しています．

とりあえずこれまでに作ったノートの記述を洗い直さないといけないです．地味に辛いっす．

あの人は今 The Stereo

The StereoはWikipediaによると1999年から2004年にかけて活動していたpop, rock and rollバンドだそうで，私はEmo関連で聴き始めました．3枚のアルバムを残していますが，どれも良作で特に1枚目の"Three Hundred"か2枚目の"No Traffic"がおすすめです．2枚目は友人に貸したら返ってこなくなったので買い直した記憶があります．
3枚目はほぼソロアルバムなので，バンド感が無くて少々期待外れでした．Last Days of Aprilなんかもそうですが，実質的にソングライティングしている人間が一人であっても，その人が全パート録音とかするとバンドよりも密度が薄まっているんですよね．
しかしもう10年以上経つのかぁ．

久しぶりにiTunesに入れていた曲を聴いてみたところ，メンバーの現状が気になったので検索してみました．フロントマンのJamie WoolfordはLet Goというバンドを結成して2005年にはアルバムを出し，2006年には来日していたようです．全然知りませんでした．WikipediaにはLet Goを継続中のように書いてあるのですが，音源は2009年に出したSplit CDが最後のようで，現状はどうなのかよくわかりません．とりあえずAmazonで中古アルバムが1円だったので購入してみました．視聴してみる限り，Stereoと同系列の音みたいです．こちらから視聴できます．
しかし相変わらず検索をかけにくいバンド名です．

The Stereoの2枚目"No Traffic"からの曲です．






2011年にFueled by Ramenの15周年記念のライブで演奏していたみたいです．




Let Goの曲のMVです．


ソロアルバムも出しているみたいです．