Asymptoteの練習 無理関数の分岐

無理関数 $f(z)=\sqrt{z(z-1)}$ の分岐(branch cut)についての説明図。
以前にAblowitz & FokasのCOMPLEX VARIABLESという本で読んだ時にわかりやすいと思ったので載せておきます。

$z=r_1{e}^{i{\theta }_1}$, $z-1=r_2{e}^{i{\theta }_2}$と置けば、$f(z)=\sqrt{r_1{r}_2}\exp (\frac{i}{2}({\theta }_1+{\theta }_2))$と表せる。$\mathrm{\Theta }=\frac{1}{2}({\theta }_1+{\theta }_2)$と置けば、$f(z)=\sqrt{r_1{r}_2}{e}^{i\mathrm{\Theta }}$であるが、これを$0\le {\theta }_i<2\pi$ ($i=1,2$)の範囲で考えると、下図のように、矢印方向から$z$の実軸に近づくときに$\mathrm{\Theta }$の値が図に書き込んだ値に近づく。

 $\mathrm{Re}z>1$や$\mathrm{Re}z<0$では実軸の上から近づいても下から近づいても$\mathrm{\Theta }$の値が$mod2\pi$で変わらないので、$f(z)$の値は連続であるが、$0<\mathrm{Re}z<1$においては実軸の上から近づけた$\mathrm{\Theta }$の値と下から近づけた値とが$mod2\pi$で一致しないため、$f(z)$はここで不連続となる。

さらに$2\pi \le {\theta }_i<4\pi$ $(i=1,2)$で同様のことを考えてみると、これら2枚のz平面をつなぎ合わせることで$f(z)$が1価正則となるような面(Riemann面)が構成出来る。

さらに、$-\pi \le {\theta }_1<\pi$, $0\le {\theta }_2<2\pi$とすれば、branch cutは$0$から負の実軸上を通り、$\mathrm{\infty }$を通って$1$に至るような形になることが示せるという話。多くの本ではここまで細かく書いていないので、頭の悪い私には有りがたかったです。 さらに$z=u^2$なる変数変換を行なって$g(u)=f(u^2)=\sqrt{u^2(u^2-1)}$とすれば、$u$平面で考えたときに$z=0$や$z=1$に対応する$u=0$や$u=1$における分岐点が解消されており、例えば$g$は$u=0$を除いた$u=0$の近傍で正則なので、$u=0$を中心とするLaurent展開が可能(puiseux展開)。

size(6cm);
defaultpen(fontsize(10pt));

dot((0,0));
dot((1,0));
label("$0$",(0,0),SW);
label("$1$",(1,0),SE);

real b=0.6;
draw((-b,0)--(1.05+b,0),Arrow(SimpleHead,7));
label("$\mathrm{Re} z$",(1.55,0),S);

pen dashed=linetype("4 4");
real r1 =0.2;
draw(arc((0,0),r1,0,360),dotted,ArcArrow(SimpleHead));
draw(arc((1,0),r1,0,360),dotted,ArcArrow(SimpleHead));

real a=0.6;
draw((0,a)--(0,-a),dashed);
draw((1,a)--(1,-a),dashed);
draw((0,0)--(1,0),1.2+black);
draw((0.5,a/2)--(0.5,0.02),0.3+black,Arrow(SimpleHead,5));
label("$\Theta =\frac{1}{2}\pi$",(0.5,a/2),N);
draw((0.5,-a/2)--(0.5,-0.02),0.3+black,Arrow(SimpleHead,5));
label("$\Theta =\frac{3}{2}\pi$",(0.5,-a/2),S);
draw((-0.35,a/2)--(-0.35,0.02),0.3+black,Arrow(SimpleHead,5));
label("$\Theta =\pi$",(-0.35,a/2),N);
draw((-0.35,-a/2)--(-0.35,-0.02),0.3+black,Arrow(SimpleHead,5));
label("$\Theta =\pi$",(-0.35,-a/2),S);
draw((1.35,a/2)--(1.35,0.02),0.3+black,Arrow(SimpleHead,5));
label("$\Theta =0$",(1.35,a/2),N);
draw((1.35,-a/2)--(1.35,-0.02),0.3+black,Arrow(SimpleHead,5));
label("$\Theta \equiv 0$",(1.35,-a/2),S);
label("$(\mathrm{mod}\,\, 2\pi)$",(1.35,-a/2)+(0.1,-a/2.5));