今度は双曲線関数の代わりに、多様体論で1の分割を作る際などに用いられる関数を使ってみました。
つまり
\[
f(t)
=
\begin{cases}
e^{-1/t} &(t>0)\\ 0 & (t\leq 0)
\end{cases}
\]
と置き、$g(t)$を
\[
g(t)=\frac{f(t)}{f(t)+f(1-t)}
\]
と定義します。$g(t)$は$g(0)=0$, $g(1)=1$を満たしているので、2つの関数を滑らかにつなぐときに便利です。さらに
\[
\varphi(x)=
\begin{cases}
-\tanh x &(x<0)\\ 0 &(0\leq x\leq 1)\\ \tanh (x-1) &(x>1)
\end{cases}
\]
と定義、$F(x,0)=\varphi(x)$, $F(x,1)=1$を満たす$F(x, y)$を
\[
F(x, y) = (1-g(y))\varphi(x) +g(y)
\]
と定義します。この関数を使い、今回作図したものは次のようになりました。
今回もパーツを寄せ集めて描画しているので、滑らかであって欲しい部分が滑らかでないという問題が残っていますが、前回よりはマシになったのではないでしょうか。曲面をもう少しうまく定義すれば、より滑らかに出来そうです。
